２．総合問題

真空中の一様電場 E₀ の中に半径 a、比誘電率κ の誘電体球を置いたときの各部の電位、電場、 電束密度を求めなさい。

ここでは、下のように、x 軸とのなす角をθとした球座標をとります。

球内部には一様な誘電分極 P が誘起されます。 また球外部の任意の点では、球の中心に双極子モーメント P ができているとみなして計算をすすめることができます。

ここで誘起される双極子モーメントは、

球内外の電位(φ_inとφ_out)は、 球の中心を原点とし、電場の方向を極方向とした極座標を取れば、

この解の厳密な導出はこちら ( pdf ) にありますので、
わからない人は必ず読んでください。

さてMathematicaでこの解を視覚化してみましょう。 ためしにκ=15でaとE₀ は1にして描いてみます。

カーテシアン座標に変換してやれば、通常の3次元プロットが可能です （ParametricPlotのライブラリを読み込めば円柱座標のままでもプロット できます。CylindricalPlot3Dというのを使いますが、時間のある人は やってみましょう）。

ここで /; は Condition の意味で、条件が満たされたときだけ適用される という定義になっています。

電場は、前半でやったように、電位の gradient を計算することより求まります。

原点で定義できていない以外はうまくいっています。 原因は、V の定義式のなかの cos1が原点で数値上ゼロ割りを起こしていることによります。 確かに数学的にはcos1の定義式ではx/r[x,y] となっていますから、分母も分子も原点ではゼロになり、 cos1の値は定数になります。 しかし計算機にとっては、このような表記では、単に0/0を計算 せよといわれたことになって、できないと文句を言うわけです。 これを直すには先ほどの 0 <= r[x,y] <= 1 のVの定義式で、 "r[x,y] cos1[x,y]"となっていたところを "x" にかえるだけでOKになります。 このようなゼロ割りの問題は Mathematica に限らず、数値計算を行う上 で必ず取り扱わなければならない問題ですので、このような問題が存在 するということを覚えておいてください。

定義式を上記のように書き換えて、もう一度

を実行すると、

となって原点でもOKとなります。

電束密度も同様に視覚化できます。球外での定義は電場と同じですが、 球内での定義を若干変更します。

電束密度の大きさは、以下のようになります。