いままで電気双極子を中心にやってきましたが、 今回も電気双極子に絡んだ問題を取り上げます。 今回は時間的に振動する電気双極子 ｑ₀ sin(ωt) dl です。

時刻 t = 0 での電気双極子の中心を原点に選び、極座標で考えます。 また、電荷 q₀ は x = ±dl/2 にあるとします。このとき、 点 P = (r,θ ,0)に生じる電磁ポテンシャルを視覚化しましょう。

古典電磁気学の知識より、 スカラーポテンシャルは

となります。r1 および r2 は近似 (余弦定理を使って、 dl² を無視する) をします。

電場は、このまま視覚化しようとしてもプロットする関数のなかにあまりに 0 に近い数が含まれていると、Mathematica はうまくプロットしてくれず、 エラーになります。r1, r2 にしたのと同程度の近似を他の部分にも適用して やります。

が充分 0 に近いので、次の変換ルール

を適用しましょう。それにはまず三角関数を展開してやらなければなりません。 試しに第1項を展開してみましょう。展開する関数は Expand でした。

おかしいですね。ぜんぜん展開してくれていません。実は Mathematica はデフォルトでは三角関数の展開を抑制します。これを行いたいとき には ExpandAll 関数を使い、さらにオプションが必要です。

同じ要領でスカラーポテンシャルを展開し、rule1 を適用しましょう。

なんだかよくわからないので、簡単にしましょう。

Mathematica Ver.5 ではSimplify関数の内容も改悪されいるため、 sin A + sin Bの項を sin と cos の積にして見やすい形にまとめてくれません。 残念ながら回避方法が見つからないようですので、 ここではおまじないを唱えてあげましょう。

そのうえ、c = 1 とおいてあげて、もう一度展開して、 改めて纏め直します。要するに、 以下のようなおまじないをします。

しかしよく見ると、まだ

などが残っています。展開したとき複素関数になっていた部分には rule1 は適用されなかったようです。しかたがないので、もう1度 rule1 を適用します。

まだ dl の2乗のオーダーが分母に残っているので、もう少し近似をしましょう。

しかし、まだ簡単になりそうなのに簡単にしてくれていません。 ここでまたおまじないです。

さらに、前回同様、 でスケールしてやります。（1とおくことに相当します。）ついでに Simplify しましょう。

このままだと視覚化しにくいので、前回と同じようにカーテシアン座標系に変換します。

ついでに時間 t を、とびとびの変数に変換しています。あとは視覚化です。 次のような数値を代入してみましょう。

既にc=1とおいてしまったので、ここではその分だけスケール倍しています。 実単位系では、 c = 3 * 10^8 m/s, ω= 3 * 10^10 Hz となります。

dt は1周期 ぶんを10 個に分割して描かせるための定数です。 dt の間隔で時間 t を増やしていき、その時間変化をアニメーションで視覚化します。

そのためにライブラリ をロードし、MoviePlot3D という関数を使います。 この関数は、指定された枚数だけ Plot3D してくれます。今の場合、1周期ぶん描かせれば充分ですから、 Frames->10と指定します。

このような図が10枚出て来るはずです。 10枚描き終わったら、1枚目の絵をダブルクリックしてみましょう。

また、周波数をいろいろ変えて試してみましょう。例えば、 波長は周波数とともにどのように変化しますか?